El Estadístico como un Mapeo
Un estadístico se define formalmente como una función $h: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. Definimos la probabilidad de que el estadístico caiga en un conjunto $B$ utilizando la imagen inversa:
$$h^{-1} B = \{(x_1, x_2, \dots, x_n) : h(x_1, x_2, \dots, x_n) \in B\}$$
Fundamento I.I.D.
Para una muestra de variables aleatorias i.i.d. (independientes e idénticamente distribuidas), la probabilidad conjunta de un punto muestral específico $(x_1, \dots, x_n)$ es el producto de sus probabilidades marginales: $p(x_1)p(x_2)\dots p(x_n)$. Este producto sirve como peso para cada punto al calcular la probabilidad total de que el estadístico tome un valor específico.
Considere una población discreta donde $p_X(1) = 1/2$, $p_X(2) = 1/4$ y $p_X(3) = 1/4$. Extraemos una muestra de tamaño $n=2$ ($X_1, X_2$) y definimos nuestro estadístico como la media geométrica: $Y_2 = (X_1 X_2)^{1/2}$.
Para encontrar la distribución de $Y_2$, listamos todas las 9 parejas posibles $(X_1, X_2)$, calculamos su probabilidad conjunta y el valor resultante de $Y_2$:
| Pareja $(x_1, x_2)$ | Prob $P(x_1)P(x_2)$ | $Y = \sqrt{x_1 x_2}$ |
|---|---|---|
| (1, 1) | 1/4 | 1.000 |
| (1, 2), (2, 1) | 1/8 + 1/8 = 1/4 | 1.414 |
| (1, 3), (3, 1) | 1/8 + 1/8 = 1/4 | 1.732 |
| (2, 2) | 1/16 | 2.000 |
| (2, 3), (3, 2) | 1/16 + 1/16 = 1/8 | 2.449 |
| (3, 3) | 1/16 | 3.000 |
Distribuciones Exactas frente a Asintóticas
Antes de avanzar hacia teoremas límite como el Teorema del Límite Central (TLC), debemos dominar la "Distribución Exacta". Esto implica calcular la función específica de masa o densidad de probabilidad para un estadístico dado un valor pequeño y finito de $n$. Cuando la forma analítica se vuelve intratable, recurrimos a simulaciones numéricas como las **aproximaciones de Monte Carlo**.